Ang mga vector ay mga operasyon sa mga vector, ang scalar na produkto ng mga vector. Mga coordinate at vector. The Comprehensive Guide (2019). Mga katangian ng pagpaparami ng vector sa isang numero

Hindi natin tatalakayin nang detalyado ang formula na ito sa ngayon. Bilang karagdagan, medyo mahirap tandaan. Babalik tayo sa puntong ito pagkatapos makilala ang mga determinant.

Buweno, para sa pangkalahatang pag-unlad, kapaki-pakinabang na malaman na ang haba ng nagresultang vector ay katumbas ng lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector. a At b.

Normalisasyon ng vector

Ang isang normalized na vector ay isang vector na ang haba ay isa.

Ang formula para sa paghahanap ng isang normalized na vector ay ang mga sumusunod - lahat ng mga bahagi ng vector ay dapat na hatiin sa haba nito:

v n= v//v| =

Afterword

Tulad ng malamang na nakita mo, ang mga vector ay hindi mahirap maunawaan. Tumingin kami sa isang bilang ng mga operasyon sa mga vector.

Sa mga sumusunod na artikulo sa seksyong "matematika" tatalakayin natin ang mga matrice, determinant, at mga sistema ng linear equation. Ito ay lahat ng teorya.

Pagkatapos nito, titingnan natin ang mga pagbabago sa matrix. Dito mo mauunawaan kung gaano kahalaga ang matematika sa paglikha ng mga laro sa kompyuter. Ang paksang ito ay magiging pagsasanay sa lahat ng nakaraang paksa.

Ipakilala natin, nang direkta, ang konsepto ng isang vector, pati na rin ang mga konsepto ng kanilang pagdaragdag, pagpaparami sa isang numero at ang kanilang pagkakapantay-pantay.

Upang ipakilala ang kahulugan ng isang geometric vector, tandaan natin kung ano ang isang segment. Ipakilala natin ang sumusunod na kahulugan.

Kahulugan 1

Ang isang segment ay isang bahagi ng isang linya na may dalawang hangganan sa anyo ng mga puntos.

Maaaring magkaroon ng 2 direksyon ang isang segment. Upang tukuyin ang direksyon, tatawagin natin ang isa sa mga hangganan ng segment na simula nito, at ang kabilang hangganan ay ang dulo nito. Ang direksyon ay ipinahiwatig mula sa simula nito hanggang sa katapusan ng segment.

Kahulugan 2

Ang isang vector o nakadirekta na segment ay magiging isang segment kung saan alam kung alin sa mga hangganan ng segment ang itinuturing na simula at kung alin ang wakas nito.

Pagtatalaga: Sa dalawang titik: $\overline(AB)$ - (kung saan $A$ ang simula nito, at $B$ ang wakas nito).

Sa isang maliit na titik: $\overline(a)$ (Fig. 1).

Ipakilala natin ang ilan pang mga konsepto na nauugnay sa konsepto ng isang vector.

Upang ipakilala ang kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng dalawang vector, kailangan mo munang maunawaan ang mga konsepto tulad ng collinearity, codirectionality, opposite directionality ng dalawang vectors, at ang haba ng vector.

Kahulugan 3

Tatawagin natin ang dalawang di-zero na vector na collinear kung nakahiga sila sa parehong linya o sa mga linyang parallel sa isa't isa (Fig. 2).

Kahulugan 4

Tatawagin namin ang dalawang di-zero na vector na codirectional kung matutugunan nila ang dalawang kundisyon:

1. Ang mga vector na ito ay collinear.
2. Kung sila ay nakadirekta sa isang direksyon (Larawan 3).

Notasyon: $\overline(a)\overline(b)$

Kahulugan 5

Tatawagan namin ang dalawang di-zero na vector na magkasalungat na nakadirekta kung natutugunan nila ang dalawang kundisyon:

1. Ang mga vector na ito ay collinear.
2. Kung sila ay nakadirekta sa iba't ibang direksyon (Larawan 4).

Notasyon: $\overline(a)↓\overline(d)$

Kahulugan 6

Ang haba ng vector na $\overline(a)$ ay magiging haba ng segment na $a$.

Notasyon: $|\overline(a)|$

Magpatuloy tayo sa pagtukoy sa pagkakapantay-pantay ng dalawang vectors

Kahulugan 7

Tatawagin namin ang dalawang vector na pantay-pantay kung natutugunan nila ang dalawang kundisyon:

1. Sila ay co-directional;
2. Ang kanilang mga haba ay pantay (Larawan 5).

Ito ay nananatiling ipakilala ang konsepto ng pagdaragdag ng mga vector, pati na rin ang kanilang pagpaparami sa isang numero.

Kahulugan 8

Ang kabuuan ng mga vectors $\overline(a+b)$ ay ang vector $\overline(c)=\overline(AC)$, na kung saan ay itinayo bilang mga sumusunod: Mula sa isang arbitrary point A namin plot $\overline(AB)= \overline(a) $, pagkatapos ay mula sa puntong $B$ ay isasantabi natin ang $\overline(BC)=\overline(b)$ at ikonekta ang puntong $A$ sa puntong $C$ (Fig. 6).

Kahulugan 9

Ang produkto ng vector na $\overline(a)$ ni $k∈R$ ay ang vector na $\overline(b)$ na tutugon sa mga kundisyon:

1. $|\overline(b)|=|k||\overline(a)|$;
2. $\overline(a)\overline(b)$ para sa $k≥0$ at, $\overline(a)↓\overline(b)$ para sa $k

Mga katangian ng pagdaragdag ng vector

Ipakilala natin ang mga katangian ng karagdagan para sa tatlong vector na $\overline(α)$, $\overline(β)$ at $\overline(γ)$:

Commutativity ng pagdaragdag ng vector:

$\overline(α)+\overline(β)=\overline(β)+\overline(α)$

Pagkakaugnay ng tatlong vector sa pamamagitan ng pagdaragdag:

$(\overline(α)+\overline(β))+\overline(γ)=\overline(α)+(\overline(β)+\overline(γ))$

Zero vector karagdagan:

$\overline(α)+\overline(0)=\overline(α)$

Pagdaragdag ng mga kabaligtaran na vectors

$\overline(α)+(\overline(-α))=\overline(0)$

Ang lahat ng mga pag-aari na ito ay madaling mapatunayan sa pamamagitan ng pagbuo ng mga naturang vector gamit ang Definition 8. Sa unang dalawa, sa pamamagitan ng paghahambing ng mga itinayong vector sa kanan at kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, at sa pangatlo at ikaapat, sa pamamagitan ng pagbuo ng isang vector sa kaliwang bahagi .

Mga katangian ng pagpaparami ng vector sa isang numero

Ipakilala natin ang mga katangian ng multiplikasyon para sa dalawang vector na $\overline(α)$, $\overline(β)$ at mga numerong $a$ at $b$.

1. $a(\overline(α)+\overline(β))=a\overline(α)+a\overline(β)$
2. $\overline(α)(a+b)=\overline(α)a+\overline(α)b$
3. $(ab)\overline(α)=a(b\overline(α))=b(a\overline(α))$
4. $1\cdot \overline(α)=\overline(α)$

Ang lahat ng mga katangiang ito ay madaling ma-verify gamit ang mga kahulugan 8 at 9. Sa unang dalawa, sa pamamagitan ng paghahambing ng mga itinayong vector mula sa kanan at kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, sa pangatlo sa pamamagitan ng paghahambing ng lahat ng mga vector na kasama sa pagkakapantay-pantay, at sa ikaapat sa pamamagitan ng pagbuo ng isang vector sa kaliwang bahagi.

Halimbawang gawain

Halimbawa 1

Magsagawa ng pagdaragdag ng vector

$2\overline(AB)+(2\overline(BC)+3\overline(AC))$

Gamit ang karagdagan property 2, nakukuha namin ang:

$2\overline(AB)+(2\overline(BC)+3\overline(AC))=(2\overline(AB)+2\overline(BC))+3\overline(AC)$

Gamit ang pag-aari ng multiplikasyon ng numero 1, nakukuha natin ang:

$(2\overline(AB)+2\overline(BC))+3\overline(AC)=2(\overline(AB)+\overline(BC))+3\overline(AC)=2\overline( BC)+3\overline(AC)=5\overline(AC)$

Sa wakas, nakuha ko ang aking mga kamay sa malawak at pinakahihintay na paksang ito. analytical geometry. Una, kaunti tungkol sa seksyong ito ng mas mataas na matematika... Tiyak na naaalala mo na ngayon ang isang kursong geometry ng paaralan na may maraming teorema, ang kanilang mga patunay, mga guhit, atbp. Ano ang itatago, isang hindi minamahal at madalas na nakakubli na paksa para sa isang makabuluhang proporsyon ng mga mag-aaral. Ang analytical geometry, kakaiba, ay maaaring mukhang mas kawili-wili at naa-access. Ano ang ibig sabihin ng pang-uri na "analitikal"? Dalawang cliched na mathematical phrase ang agad na naiisip: "graphical solution method" at "analytical solution method." Paraan ng graphic, siyempre, ay nauugnay sa pagbuo ng mga graph at mga guhit. Analitikal o paraan nagsasangkot ng paglutas ng mga problema higit sa lahat sa pamamagitan ng algebraic operations. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang algorithm para sa paglutas ng halos lahat ng mga problema ng analytical geometry ay simple at transparent, madalas sapat na upang maingat na ilapat ang mga kinakailangang formula - at handa na ang sagot! Hindi, siyempre, hindi namin magagawa ito nang walang mga guhit, at bukod pa, para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa materyal, susubukan kong banggitin ang mga ito nang higit sa pangangailangan.

Ang bagong bukas na kurso ng mga aralin sa geometry ay hindi nagpapanggap na kumpleto sa teorya; ito ay nakatuon sa paglutas ng mga praktikal na problema. Isasama ko lamang sa aking mga lektura ang, mula sa aking pananaw, ay mahalaga sa mga praktikal na termino. Kung kailangan mo ng mas kumpletong tulong sa anumang subsection, inirerekumenda ko ang sumusunod na medyo naa-access na literatura:

1) Isang bagay na, walang biro, pamilyar sa ilang henerasyon: Textbook ng paaralan sa geometry, mga may-akda - L.S. Atanasyan at Kumpanya. Ang sabitan ng locker room ng paaralan ay dumaan na sa 20 (!) na muling pag-print, na, siyempre, ay hindi ang limitasyon.

2) Geometry sa 2 volume. Mga may-akda L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ito ay panitikan para sa mataas na paaralan, kakailanganin mo unang volume. Ang mga bihirang nakatagpo na gawain ay maaaring mawala sa aking paningin, at ang tutorial ay magiging napakahalagang tulong.

Ang parehong mga libro ay maaaring ma-download nang libre online. Bilang karagdagan, maaari mong gamitin ang aking archive na may mga handa na solusyon, na matatagpuan sa pahina Mag-download ng mga halimbawa sa mas mataas na matematika.

Kabilang sa mga tool, muli kong iminumungkahi ang aking sariling pag-unlad - software package sa analytical geometry, na lubos na magpapasimple sa buhay at makatipid ng maraming oras.

Ipinapalagay na ang mambabasa ay pamilyar sa mga pangunahing geometric na konsepto at figure: punto, linya, eroplano, tatsulok, parallelogram, parallelepiped, cube, atbp. Maipapayo na tandaan ang ilang theorems, hindi bababa sa Pythagorean theorem, kumusta sa mga repeater)

At ngayon ay isasaalang-alang namin ang sunud-sunod: ang konsepto ng isang vector, mga aksyon na may mga vector, mga coordinate ng vector. Inirerekomenda ko ang pagbabasa pa ang pinakamahalagang artikulo Tuldok na produkto ng mga vector, at saka Vector at halo-halong produkto ng mga vector. Ang isang lokal na gawain - Dibisyon ng isang segment sa bagay na ito - ay hindi rin magiging kalabisan. Batay sa impormasyon sa itaas, maaari mong master equation ng isang linya sa isang eroplano Sa pinakasimpleng halimbawa ng mga solusyon, na magpapahintulot matutong lutasin ang mga problema sa geometry. Ang mga sumusunod na artikulo ay kapaki-pakinabang din: Equation ng isang eroplano sa kalawakan, Mga equation ng isang linya sa espasyo, Mga pangunahing problema sa isang tuwid na linya at isang eroplano, iba pang mga seksyon ng analytical geometry. Naturally, ang mga karaniwang gawain ay isasaalang-alang sa daan.

Konsepto ng vector. Libreng vector

Una, ulitin natin ang kahulugan ng paaralan ng isang vector. Vector tinawag nakadirekta isang segment kung saan ang simula at pagtatapos nito ay ipinahiwatig:

Sa kasong ito, ang simula ng segment ay ang punto, ang dulo ng segment ay ang punto. Ang vector mismo ay tinutukoy ng . Direksyon ay mahalaga, kung ililipat mo ang arrow sa kabilang dulo ng segment, makakakuha ka ng vector, at ito na ganap na naiibang vector. Ito ay maginhawa upang matukoy ang konsepto ng isang vector na may paggalaw ng isang pisikal na katawan: dapat kang sumang-ayon, ang pagpasok sa mga pintuan ng isang instituto o pag-alis sa mga pintuan ng isang instituto ay ganap na magkakaibang mga bagay.

Ito ay maginhawa upang isaalang-alang ang mga indibidwal na punto ng isang eroplano o espasyo bilang ang tinatawag na zero vector. Para sa tulad ng isang vector, ang dulo at simula ay nag-tutugma.

!!! Tandaan: Dito at higit pa, maaari mong ipagpalagay na ang mga vector ay namamalagi sa parehong eroplano o maaari mong ipagpalagay na sila ay matatagpuan sa kalawakan - ang kakanyahan ng materyal na ipinakita ay wasto para sa parehong eroplano at espasyo.

Mga pagtatalaga: Marami agad ang nakapansin sa stick na walang palaso sa designation at sinabing, may arrow din sa taas! Totoo, maaari mo itong isulat gamit ang isang arrow: , ngunit posible rin ito ang entry na gagamitin ko sa hinaharap. Bakit? Tila, ang ugali na ito ay nabuo para sa praktikal na mga kadahilanan; ang aking mga tagabaril sa paaralan at unibersidad ay naging masyadong magkaiba ang laki at balbon. Sa literatura na pang-edukasyon, kung minsan ay hindi sila nag-abala sa pagsulat ng cuneiform, ngunit i-highlight ang mga titik sa bold: , at sa gayon ay nagpapahiwatig na ito ay isang vector.

Iyon ay stylistics, at ngayon tungkol sa mga paraan upang magsulat ng mga vectors:

1) Ang mga vector ay maaaring isulat sa dalawang malalaking titik na Latin:
at iba pa. Sa kasong ito, ang unang titik Kailangan nagsasaad ng panimulang punto ng vector, at ang pangalawang titik ay tumutukoy sa dulong punto ng vector.

2) Ang mga vector ay isinusulat din sa maliliit na letrang Latin:
Sa partikular, ang aming vector ay maaaring muling italaga para sa kaiklian ng isang maliit na letrang Latin.

Ang haba o modyul ang isang di-zero na vector ay tinatawag na haba ng segment. Ang haba ng zero vector ay zero. Lohikal.

Ang haba ng vector ay ipinahiwatig ng modulus sign: ,

Malalaman natin kung paano hanapin ang haba ng isang vector (o uulitin natin ito, depende sa kung sino) mamaya.

Ito ay pangunahing impormasyon tungkol sa mga vector, pamilyar sa lahat ng mga mag-aaral. Sa analytical geometry, ang tinatawag na libreng vector.

Sa madaling salita - ang vector ay maaaring i-plot mula sa anumang punto:

Nakasanayan na nating tawaging pantay-pantay ang mga naturang vector (ibibigay sa ibaba ang kahulugan ng pantay na mga vector), ngunit mula sa isang mathematical point of view, sila ay PAREHONG VECTOR o libreng vector. Bakit libre? Dahil sa kurso ng paglutas ng mga problema, maaari mong "ilakip" ito o ang vector na iyon sa ANUMANG punto ng eroplano o espasyo na kailangan mo. Ito ay isang napaka-cool na tampok! Isipin ang isang vector ng di-makatwirang haba at direksyon - maaari itong "ma-clone" ng walang katapusang bilang ng beses at sa anumang punto sa kalawakan, sa katunayan, ito ay umiiral sa lahat ng dako. May isang mag-aaral na nagsasabi: Ang bawat lektor ay nagbibigay ng isang sumpain tungkol sa vector. Pagkatapos ng lahat, ito ay hindi lamang isang nakakatawang tula, lahat ay tama sa matematika - ang vector ay maaaring ilakip din doon. Ngunit huwag magmadali upang magalak, ang mga mag-aaral mismo ang madalas na nagdurusa =)

Kaya, libreng vector- Ito isang grupo ng magkaparehong nakadirekta na mga segment. Ang kahulugan ng paaralan ng isang vector, na ibinigay sa simula ng talata: "Ang isang nakadirekta na segment ay tinatawag na isang vector..." ay nagpapahiwatig tiyak isang nakadirekta na segment na kinuha mula sa isang ibinigay na hanay, na nakatali sa isang partikular na punto sa eroplano o espasyo.

Dapat pansinin na mula sa punto ng view ng pisika, ang konsepto ng isang libreng vector ay karaniwang hindi tama, at ang punto ng aplikasyon ng vector ay mahalaga. Sa katunayan, ang isang direktang suntok ng parehong puwersa sa ilong o noo, sapat na upang bumuo ng aking hangal na halimbawa, ay nangangailangan ng iba't ibang mga kahihinatnan. gayunpaman, hindi malaya Ang mga vector ay matatagpuan din sa kurso ng vyshmat (huwag pumunta doon :)).

Mga pagkilos na may mga vector. Collinearity ng mga vectors

Ang isang kurso sa geometry ng paaralan ay sumasaklaw sa ilang mga aksyon at panuntunan na may mga vector: karagdagan ayon sa tuntuning tatsulok, karagdagan ayon sa panuntunang paralelogram, panuntunan sa pagkakaiba ng vector, pagpaparami ng isang vector sa isang numero, produkto ng scalar ng mga vector, atbp. Bilang panimulang punto, ulitin natin ang dalawang panuntunan na partikular na nauugnay sa paglutas ng mga problema ng analytical geometry.

Ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga vector gamit ang panuntunang tatsulok

Isaalang-alang ang dalawang arbitrary na di-zero na vector at :

Kailangan mong hanapin ang kabuuan ng mga vector na ito. Dahil sa ang katunayan na ang lahat ng mga vector ay itinuturing na libre, isasaisantabi namin ang vector mula sa wakas vector:

Ang kabuuan ng mga vector ay ang vector. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa panuntunan, ipinapayong ilagay ang isang pisikal na kahulugan dito: hayaan ang ilang katawan na maglakbay kasama ang vector , at pagkatapos ay kasama ang vector . Pagkatapos ang kabuuan ng mga vector ay ang vector ng nagresultang landas na may simula sa punto ng pag-alis at ang dulo sa punto ng pagdating. Ang isang katulad na panuntunan ay binuo para sa kabuuan ng anumang bilang ng mga vector. Tulad ng sinasabi nila, ang katawan ay maaaring pumunta sa kanyang paraan na napakahilig sa isang zigzag, o marahil sa autopilot - kasama ang nagresultang vector ng kabuuan.

Sa pamamagitan ng paraan, kung ang vector ay ipinagpaliban mula sa nagsimula vector, pagkatapos ay makuha namin ang katumbas tuntunin ng paralelogram pagdaragdag ng mga vector.

Una, tungkol sa collinearity ng mga vectors. Ang dalawang vector ay tinatawag collinear, kung nakahiga sila sa parehong linya o sa parallel na linya. Sa halos pagsasalita, pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga parallel vectors. Ngunit may kaugnayan sa kanila, palaging ginagamit ang pang-uri na "collinear".

Isipin ang dalawang collinear vectors. Kung ang mga arrow ng mga vector na ito ay nakadirekta sa parehong direksyon, kung gayon ang mga naturang vector ay tinatawag co-directed. Kung ang mga arrow ay tumuturo sa iba't ibang direksyon, kung gayon ang mga vector ay magiging magkasalungat na direksyon.

Mga pagtatalaga: collinearity ng mga vectors ay nakasulat gamit ang karaniwang parallelism na simbolo: , habang ang pagdedetalye ay posible: (mga vector ay co-directed) o (vectors ay oppositely directed).

Ang trabaho ang isang di-zero na vector sa isang numero ay isang vector na ang haba ay katumbas ng , at ang mga vector at ay co-directed sa at oppositely directed sa .

Ang panuntunan para sa pagpaparami ng isang vector sa isang numero ay mas madaling maunawaan sa tulong ng isang larawan:

Tingnan natin ito nang mas detalyado:

1 Direksyon. Kung ang multiplier ay negatibo, kung gayon ang vector nagbabago ng direksyon sa kabaligtaran.

2) Haba. Kung ang multiplier ay nasa loob ng o , ang haba ng vector bumababa. Kaya, ang haba ng vector ay kalahati ng haba ng vector. Kung ang modulus ng multiplier ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon ang haba ng vector nadadagdagan sa oras.

3) Mangyaring tandaan na lahat ng mga vector ay collinear, habang ang isang vector ay ipinahayag sa pamamagitan ng isa pa, halimbawa, . Ang baligtad ay totoo rin: kung ang isang vector ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng isa pa, kung gayon ang mga vectors ay kinakailangang collinear. kaya: kung i-multiply natin ang isang vector sa isang numero, makakakuha tayo ng collinear(kamag-anak sa orihinal) vector.

4) Ang mga vector ay co-directed. Vectors at co-direct din. Anumang vector ng unang pangkat ay kabaligtaran na nakadirekta sa anumang vector ng pangalawang pangkat.

Aling mga vector ang pantay?

Ang dalawang vector ay magkapareho kung sila ay nasa parehong direksyon at may parehong haba. Tandaan na ang codirectionality ay nagpapahiwatig ng collinearity ng mga vectors. Ang kahulugan ay magiging hindi tumpak (kalabisan) kung sasabihin namin: "Ang dalawang vector ay magkapareho kung sila ay collinear, codirectional, at may parehong haba."

Mula sa punto ng view ng konsepto ng isang libreng vector, ang mga pantay na vector ay ang parehong vector, tulad ng tinalakay sa nakaraang talata.

Vector coordinate sa eroplano at sa kalawakan

Ang unang punto ay isaalang-alang ang mga vector sa eroplano. Ilarawan natin ang isang Cartesian rectangular coordinate system at i-plot ito mula sa pinagmulan ng mga coordinate walang asawa mga vector at:

Mga vector at orthogonal. Orthogonal = Perpendicular. Inirerekomenda ko na dahan-dahan kang masanay sa mga termino: sa halip na parallelism at perpendicularity, ginagamit namin ang mga salita ayon sa pagkakabanggit collinearity At orthogonality.

pagtatalaga: Ang orthogonality ng mga vectors ay nakasulat gamit ang karaniwang perpendicularity na simbolo, halimbawa: .

Ang mga vector na isinasaalang-alang ay tinatawag coordinate vectors o orts. Ang mga vectors na ito ay nabuo batayan sa ibabaw. Ano ang batayan, sa palagay ko, ay malinaw na malinaw sa marami; ang mas detalyadong impormasyon ay matatagpuan sa artikulo Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector Sa simpleng salita, ang batayan at pinagmulan ng mga coordinate ay tumutukoy sa buong sistema - ito ay isang uri ng pundasyon kung saan kumukulo ang isang buo at mayamang geometriko na buhay.

Minsan tinatawag ang itinayong batayan orthonormal batayan ng eroplano: "ortho" - dahil ang mga coordinate vectors ay orthogonal, ang adjective na "normalized" ay nangangahulugang unit, i.e. ang haba ng mga batayang vector ay katumbas ng isa.

pagtatalaga: ang batayan ay karaniwang nakasulat sa panaklong, sa loob nito sa mahigpit na pagkakasunod-sunod nakalista ang mga base vector, halimbawa: . Mga vector ng coordinate ito ay ipinagbabawal muling ayusin.

Anuman vector ng eroplano ang tanging paraan ipinahayag bilang:
, Saan - numero na tinatawag na mga coordinate ng vector sa batayan na ito. At ang mismong ekspresyon tinawag pagkabulok ng vectorsa pamamagitan ng batayan .

Hinahain ang hapunan:

Magsimula tayo sa unang titik ng alpabeto: . Ang pagguhit ay malinaw na nagpapakita na kapag nabubulok ang isang vector sa isang batayan, ang mga tinalakay ay ginagamit:
1) ang panuntunan para sa pagpaparami ng vector sa isang numero: at ;
2) pagdaragdag ng mga vector ayon sa tuntunin ng tatsulok: .

Ngayon ay i-plot ng isip ang vector mula sa anumang iba pang punto sa eroplano. Malinaw na ang kanyang pagkabulok ay "susundan siya nang walang humpay." Narito ito, ang kalayaan ng vector - ang vector ay "dinadala ang lahat sa sarili nito." Ang property na ito, siyempre, ay totoo para sa anumang vector. Nakakatawa na ang mga batayan (libre) na mga vector mismo ay hindi kailangang i-plot mula sa pinanggalingan; ang isa ay maaaring iguhit, halimbawa, sa kaliwang ibaba, at ang isa sa kanang tuktok, at walang magbabago! Totoo, hindi mo kailangang gawin ito, dahil ang guro ay magpapakita din ng pagka-orihinal at bibigyan ka ng "kredito" sa isang hindi inaasahang lugar.

Eksaktong inilalarawan ng mga vector ang panuntunan para sa pagpaparami ng vector sa isang numero, ang vector ay codirectional sa base vector, ang vector ay nakadirekta sa tapat ng base vector. Para sa mga vector na ito, ang isa sa mga coordinate ay katumbas ng zero; maaari mong maingat na isulat ito tulad nito:


At ang mga batayang vector, sa pamamagitan ng paraan, ay ganito: (sa katunayan, sila ay ipinahayag sa pamamagitan ng kanilang sarili).

At sa wakas: , . Sa pamamagitan ng paraan, ano ang pagbabawas ng vector, at bakit hindi ko pinag-usapan ang panuntunan ng pagbabawas? Sa isang lugar sa linear algebra, hindi ko matandaan kung saan, nabanggit ko na ang pagbabawas ay isang espesyal na kaso ng karagdagan. Kaya, ang mga pagpapalawak ng mga vector na "de" at "e" ay madaling nakasulat bilang isang kabuuan: , . Muling ayusin ang mga tuntunin at tingnan sa pagguhit kung gaano kahusay ang magandang lumang karagdagan ng mga vector ayon sa tuntunin ng tatsulok na gumagana sa mga sitwasyong ito.

Ang itinuturing na agnas ng form minsan tinatawag na vector decomposition sa ort system(i.e. sa isang sistema ng mga unit vector). Ngunit hindi ito ang tanging paraan upang magsulat ng isang vector; ang sumusunod na opsyon ay karaniwan:

O may katumbas na tanda:

Ang mga batayang vector mismo ay nakasulat bilang mga sumusunod: at

Iyon ay, ang mga coordinate ng vector ay ipinahiwatig sa mga panaklong. Sa mga praktikal na problema, lahat ng tatlong opsyon sa notasyon ay ginagamit.

Nag-alinlangan ako kung magsasalita, ngunit sasabihin ko pa rin: hindi maaaring muling ayusin ang mga coordinate ng vector. Mahigpit sa unang lugar isulat namin ang coordinate na tumutugma sa unit vector, mahigpit sa pangalawang lugar isulat namin ang coordinate na tumutugma sa unit vector. Sa katunayan, at dalawang magkaibang vectors.

Inisip namin ang mga coordinate sa eroplano. Ngayon tingnan natin ang mga vector sa tatlong-dimensional na espasyo, halos lahat ay pareho dito! Magdaragdag lamang ito ng isa pang coordinate. Mahirap gumawa ng mga three-dimensional na mga guhit, kaya lilimitahan ko ang aking sarili sa isang vector, na para sa pagiging simple ay itatabi ko sa pinagmulan:

Anuman 3D space vector ang tanging paraan palawakin sa isang orthonormal na batayan:
, nasaan ang mga coordinate ng vector (numero) sa batayan na ito.

Halimbawa mula sa larawan: . Tingnan natin kung paano gumagana ang mga panuntunan ng vector dito. Una, pagpaparami ng vector sa isang numero: (pulang arrow), (berdeng arrow) at (raspberry arrow). Pangalawa, narito ang isang halimbawa ng pagdaragdag ng ilan, sa kasong ito ng tatlo, mga vectors: . Ang kabuuan ng vector ay nagsisimula sa paunang punto ng pag-alis (simula ng vector) at nagtatapos sa huling punto ng pagdating (pagtatapos ng vector).

Ang lahat ng mga vector ng three-dimensional na espasyo, natural, ay libre din; subukang itabi ang vector mula sa anumang iba pang punto, at mauunawaan mo na ang agnas nito ay "mananatili dito."

Katulad ng flat case, bukod pa sa pagsusulat ang mga bersyon na may mga bracket ay malawakang ginagamit: alinman .

Kung ang isa (o dalawang) coordinate vector ay nawawala sa pagpapalawak, ang mga zero ay ilalagay sa kanilang lugar. Mga halimbawa:
vector (maingat ) - magsulat tayo;
vector (maingat ) - magsulat tayo;
vector (maingat ) – magsulat tayo.

Ang mga batayang vector ay nakasulat bilang mga sumusunod:

Ito, marahil, ay ang lahat ng pinakamababang teoretikal na kaalaman na kinakailangan upang malutas ang mga problema ng analytical geometry. Maaaring maraming termino at kahulugan, kaya inirerekomenda ko na basahin muli ng mga teapot at unawaing muli ang impormasyong ito. At magiging kapaki-pakinabang para sa sinumang mambabasa na sumangguni sa pangunahing aralin paminsan-minsan upang mas mahusay na maunawaan ang materyal. Collinearity, orthogonality, orthonormal na batayan, vector decomposition - ito at iba pang mga konsepto ay madalas na gagamitin sa hinaharap. Pansinin ko na ang mga materyales sa site ay hindi sapat upang makapasa sa teoretikal na pagsubok o colloquium sa geometry, dahil maingat kong i-encrypt ang lahat ng mga theorems (at walang mga patunay) - sa kapinsalaan ng pang-agham na istilo ng pagtatanghal, ngunit isang plus sa iyong pag-unawa sa ang paksa. Upang makatanggap ng detalyadong teoretikal na impormasyon, mangyaring yumuko kay Propesor Atanasyan.

At lumipat tayo sa praktikal na bahagi:

Ang pinakasimpleng mga problema ng analytical geometry.
Mga pagkilos na may mga vector sa mga coordinate

Ito ay lubos na ipinapayong matutunan kung paano lutasin ang mga gawain na ganap na awtomatikong isasaalang-alang, at ang mga formula kabisaduhin, hindi mo na kailangang tandaan ito nang kusa, maaalala nila ito mismo =) Napakahalaga nito, dahil ang iba pang mga problema ng analytical geometry ay batay sa pinakasimpleng mga halimbawa ng elementarya, at nakakainis na gumugol ng karagdagang oras sa pagkain ng mga pawn. . Hindi na kailangang i-fasten ang mga top button sa iyong shirt; maraming bagay ang pamilyar sa iyo mula sa paaralan.

Ang pagtatanghal ng materyal ay susunod sa isang parallel na kurso - kapwa para sa eroplano at para sa espasyo. Sa kadahilanang lahat ng mga formula... makikita mo mismo.

Paano makahanap ng isang vector mula sa dalawang puntos?

Kung ang dalawang punto ng eroplano ay ibinigay, kung gayon ang vector ay may mga sumusunod na coordinate:

Kung ang dalawang puntos sa espasyo at ibinigay, ang vector ay may mga sumusunod na coordinate:

Yan ay, mula sa mga coordinate ng dulo ng vector kailangan mong ibawas ang kaukulang mga coordinate simula ng vector.

Pagsasanay: Para sa parehong mga punto, isulat ang mga formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng vector. Mga pormula sa pagtatapos ng aralin.

Halimbawa 1

Ibinigay ang dalawang punto ng eroplano at . Maghanap ng mga coordinate ng vector

Solusyon: ayon sa kaukulang formula:

Bilang kahalili, maaaring gamitin ang sumusunod na entry:

Ang mga Aesthetes ang magpapasya nito:

Sa personal, sanay na ako sa unang bersyon ng pag-record.

Sagot:

Ayon sa kondisyon, hindi kinakailangan na gumawa ng isang pagguhit (na karaniwan para sa mga problema ng analytical geometry), ngunit upang linawin ang ilang mga punto para sa mga dummies, hindi ako magiging tamad:

Talagang kailangan mong maunawaan pagkakaiba sa pagitan ng mga coordinate ng punto at mga coordinate ng vector:

Mga coordinate ng punto– ito ay mga ordinaryong coordinate sa isang rectangular coordinate system. Sa palagay ko alam ng lahat kung paano mag-plot ng mga puntos sa isang coordinate plane mula sa ika-5-6 na baitang. Ang bawat punto ay may mahigpit na lugar sa eroplano, at hindi sila maaaring ilipat kahit saan.

Ang mga coordinate ng vector– ito ang pagpapalawak nito ayon sa batayan, sa kasong ito. Ang anumang vector ay libre, kaya kung kinakailangan, madali nating maililipat ito mula sa ibang punto sa eroplano. Ito ay kagiliw-giliw na para sa mga vector ay hindi mo kailangang bumuo ng mga axes o isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate; kailangan mo lamang ng isang batayan, sa kasong ito ay isang orthonormal na batayan ng eroplano.

Ang mga talaan ng mga coordinate ng mga puntos at coordinate ng mga vector ay tila magkatulad: , at kahulugan ng mga coordinate ganap magkaiba, at dapat ay alam mong mabuti ang pagkakaibang ito. Ang pagkakaibang ito, siyempre, ay nalalapat din sa espasyo.

Mga kababaihan at mga ginoo, punan natin ang ating mga kamay:

Halimbawa 2

a) Mga puntos at ibinibigay. Maghanap ng mga vector at .
b) Ang mga puntos ay ibinibigay At . Maghanap ng mga vector at .
c) Mga puntos at ibinibigay. Maghanap ng mga vector at .
d) Ang mga puntos ay ibinibigay. Maghanap ng mga vector .

Marahil sapat na iyon. Ito ay mga halimbawa para sa iyo na magpasya sa iyong sarili, subukang huwag pabayaan ang mga ito, ito ay magbubunga ;-). Hindi na kailangang gumawa ng mga guhit. Mga solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ano ang mahalaga sa paglutas ng mga problema sa analytical geometry? Mahalagang maging LUBOS NA MAG-INGAT upang maiwasan ang paggawa ng mahusay na pagkakamali na "two plus two equals zero". Humihingi ako ng paumanhin kaagad kung nagkamali ako sa isang lugar =)

Paano mahahanap ang haba ng isang segment?

Ang haba, tulad ng nabanggit na, ay ipinahiwatig ng modulus sign.

Kung ang dalawang punto ng eroplano ay ibinigay at , kung gayon ang haba ng segment ay maaaring kalkulahin gamit ang formula

Kung dalawang puntos sa espasyo at ibinigay, kung gayon ang haba ng segment ay maaaring kalkulahin gamit ang formula

Tandaan: Ang mga formula ay mananatiling tama kung ang mga katumbas na coordinate ay pinalitan: at , ngunit ang unang opsyon ay mas karaniwan

Halimbawa 3

Solusyon: ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Para sa kalinawan, gagawa ako ng drawing

Segment ng linya - hindi ito vector, at, siyempre, hindi mo ito maililipat kahit saan. Bilang karagdagan, kung gumuhit ka sa sukat: 1 yunit. = 1 cm (dalawang notebook cell), pagkatapos ay masusuri ang resultang sagot sa isang regular na ruler sa pamamagitan ng direktang pagsukat sa haba ng segment.

Oo, ang solusyon ay maikli, ngunit mayroong ilang mas mahahalagang punto dito na nais kong linawin:

Una, sa sagot ay inilalagay namin ang dimensyon: "mga yunit". Hindi sinasabi ng kundisyon kung ANO ito, milimetro, sentimetro, metro o kilometro. Samakatuwid, ang isang mathematically tamang solusyon ay ang pangkalahatang pagbabalangkas: "mga yunit" - dinaglat bilang "mga yunit."

Pangalawa, ulitin natin ang materyal sa paaralan, na kapaki-pakinabang hindi lamang para sa gawaing isinasaalang-alang:

pansinin mo mahalagang teknik – pag-alis ng multiplier mula sa ilalim ng ugat. Bilang resulta ng mga kalkulasyon, mayroon kaming isang resulta at ang mahusay na istilo ng matematika ay nagsasangkot ng pag-alis ng kadahilanan mula sa ilalim ng ugat (kung maaari). Sa mas detalyado ang proseso ay ganito: . Siyempre, hindi isang pagkakamali ang pag-iwan sa sagot bilang ay - ngunit ito ay tiyak na isang pagkukulang at isang mabigat na argumento para sa quibbling sa bahagi ng guro.

Narito ang iba pang karaniwang mga kaso:

Kadalasan ang ugat ay gumagawa ng isang medyo malaking bilang, halimbawa . Ano ang gagawin sa mga ganitong kaso? Gamit ang calculator, sinusuri namin kung ang numero ay nahahati sa 4: . Oo, ito ay ganap na hinati, kaya: . O baka mahati ulit ng 4 ang numero? . kaya: . Ang huling digit ng numero ay kakaiba, kaya ang paghahati sa 4 sa pangatlong pagkakataon ay malinaw na hindi gagana. Subukan nating hatiin sa siyam: . Ang resulta:
handa na.

Konklusyon: kung sa ilalim ng ugat ay nakakakuha tayo ng isang numero na hindi maaaring makuha sa kabuuan, pagkatapos ay susubukan naming alisin ang kadahilanan mula sa ilalim ng ugat - gamit ang isang calculator, sinusuri namin kung ang numero ay nahahati sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, atbp.

Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema, madalas na nakatagpo ang mga ugat; palaging subukang kunin ang mga salik mula sa ilalim ng ugat upang maiwasan ang mas mababang grado at hindi kinakailangang mga problema sa pagsasapinal ng iyong mga solusyon batay sa mga komento ng guro.

Ulitin din natin ang pag-squaring ng mga ugat at iba pang kapangyarihan:

Ang mga patakaran para sa pagpapatakbo na may mga kapangyarihan sa pangkalahatang anyo ay matatagpuan sa isang aklat-aralin sa algebra ng paaralan, ngunit sa palagay ko mula sa mga halimbawang ibinigay, lahat o halos lahat ay malinaw na.

Gawain para sa independiyenteng solusyon na may isang segment sa espasyo:

Halimbawa 4

Mga puntos at ibinibigay. Hanapin ang haba ng segment.

Ang solusyon at sagot ay nasa katapusan ng aralin.

Paano mahahanap ang haba ng isang vector?

Kung ang isang vector ng eroplano ay ibinigay, pagkatapos ay ang haba nito ay kinakalkula ng formula.

Kung ang isang space vector ay ibinigay, pagkatapos ay ang haba nito ay kinakalkula ng formula .

Karaniwang kahulugan: "Ang vector ay isang nakadirekta na segment." Karaniwang ito ang lawak ng kaalaman ng isang nagtapos tungkol sa mga vector. Sino ang nangangailangan ng anumang "directional segments"?

Ngunit talaga, ano ang mga vector at para saan ang mga ito?
Ulat panahon. "Ang hangin sa hilagang-kanluran, bilis na 18 metro bawat segundo." Sumang-ayon, ang parehong direksyon ng hangin (kung saan ito umiihip) at ang magnitude (iyon ay, ang ganap na halaga) ng bilis nito ay mahalaga.

Ang mga dami na walang direksyon ay tinatawag na scalar. Mass, trabaho, electric charge ay hindi nakadirekta kahit saan. Ang mga ito ay nailalarawan lamang sa pamamagitan ng isang numerical na halaga - "ilang kilo" o "ilang joules".

Ang mga pisikal na dami na hindi lamang isang ganap na halaga, kundi pati na rin isang direksyon, ay tinatawag na mga dami ng vector.

Bilis, puwersa, acceleration - mga vector. Para sa kanila, "gaano" ang mahalaga at "kung saan" ay mahalaga. Halimbawa, ang acceleration ng gravity ay nakadirekta sa ibabaw ng Earth, at ang halaga nito ay 9.8 m/s 2. Ang salpok, lakas ng electric field, magnetic field induction ay mga dami rin ng vector.

Naaalala mo na ang mga pisikal na dami ay tinutukoy ng mga titik, Latin o Griyego. Ang arrow sa itaas ng titik ay nagpapahiwatig na ang dami ay vector:

Narito ang isa pang halimbawa.
Isang sasakyan ang gumagalaw mula A hanggang B. Ang resulta ay ang paggalaw nito mula sa punto A hanggang sa punto B, iyon ay, paggalaw ng isang vector .

Ngayon ay malinaw na kung bakit ang isang vector ay isang nakadirekta na segment. Pakitandaan na ang dulo ng vector ay kung nasaan ang arrow. Haba ng vector ay tinatawag na haba ng bahaging ito. Ipinapahiwatig ng: o

Hanggang ngayon, nagtrabaho kami sa mga scalar na dami, ayon sa mga patakaran ng arithmetic at elementary algebra. Ang mga vector ay isang bagong konsepto. Ito ay isa pang klase ng mga bagay sa matematika. May sarili silang rules.

Noong unang panahon, wala tayong alam tungkol sa mga numero. Ang pagkakakilala ko sa kanila ay nagsimula noong elementarya. Ito ay lumabas na ang mga numero ay maaaring ihambing sa bawat isa, idinagdag, ibawas, multiply at hatiin. Nalaman namin na mayroong numero uno at numero zero.
Ngayon kami ay ipinakilala sa mga vectors.

Ang mga konsepto ng "higit pa" at "mas kaunti" para sa mga vector ay hindi umiiral - pagkatapos ng lahat, ang kanilang mga direksyon ay maaaring magkakaiba. Ang mga haba ng vector lamang ang maaaring ihambing.

Ngunit mayroong isang konsepto ng pagkakapantay-pantay para sa mga vectors.
Kapantay Ang mga vector na may parehong haba at parehong direksyon ay tinatawag. Nangangahulugan ito na ang vector ay maaaring ilipat parallel sa sarili nito sa anumang punto sa eroplano.
Walang asawa ay isang vector na ang haba ay 1. Ang Zero ay isang vector na ang haba ay zero, ibig sabihin, ang simula nito ay kasabay ng dulo.

Ito ay pinaka-maginhawa upang gumana sa mga vector sa isang hugis-parihaba na coordinate system - ang parehong kung saan gumuhit kami ng mga graph ng mga function. Ang bawat punto sa sistema ng coordinate ay tumutugma sa dalawang numero - ang x at y na mga coordinate, abscissa at ordinate.
Ang vector ay tinukoy din ng dalawang coordinate:

Narito ang mga coordinate ng vector ay nakasulat sa panaklong - sa x at y.
Matatagpuan ang mga ito nang simple: ang coordinate ng dulo ng vector minus ang coordinate ng simula nito.

Kung ang mga coordinate ng vector ay ibinigay, ang haba nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Pagdaragdag ng vector

Mayroong dalawang paraan upang magdagdag ng mga vector.

1 . Panuntunan ng paralelogram. Upang idagdag ang mga vector at , inilalagay namin ang mga pinagmulan ng pareho sa parehong punto. Bumubuo kami hanggang sa isang paralelogram at mula sa parehong punto ay gumuhit kami ng isang dayagonal ng parallelogram. Ito ang magiging kabuuan ng mga vector at .

Tandaan ang pabula tungkol sa swan, crayfish at pike? Sinubukan nila nang husto, ngunit hindi nila ginalaw ang kariton. Pagkatapos ng lahat, ang kabuuan ng vector ng mga puwersa na inilapat nila sa cart ay katumbas ng zero.

2. Ang pangalawang paraan upang magdagdag ng mga vector ay ang panuntunan ng tatsulok. Kunin natin ang parehong mga vector at . Idaragdag namin ang simula ng pangalawa hanggang sa dulo ng unang vector. Ngayon ikonekta natin ang simula ng una at ang dulo ng pangalawa. Ito ang kabuuan ng mga vector at .

Gamit ang parehong panuntunan, maaari kang magdagdag ng ilang mga vector. Inaayos namin ang mga ito nang paisa-isa, at pagkatapos ay ikonekta ang simula ng una hanggang sa dulo ng huli.

Isipin na pupunta ka mula sa point A hanggang point B, mula B hanggang C, mula C hanggang D, pagkatapos ay sa E at sa F. Ang huling resulta ng mga pagkilos na ito ay paggalaw mula A hanggang F.

Kapag nagdadagdag ng mga vectors at nakukuha namin:

Pagbabawas ng vector

Ang vector ay nakadirekta sa tapat ng vector. Ang mga haba ng mga vector at ay pantay.

Ngayon ay malinaw na kung ano ang vector subtraction. Ang pagkakaiba ng vector at ang kabuuan ng vector at ng vector.

Pagpaparami ng vector sa isang numero

Kapag ang isang vector ay pinarami ng bilang na k, ang isang vector ay nakuha na ang haba ay k beses na naiiba sa haba . Ito ay codirectional sa vector kung ang k ay mas malaki kaysa sa zero, at kabaligtaran kung ang k ay mas mababa sa zero.

Tuldok na produkto ng mga vector

Ang mga vector ay maaaring i-multiply hindi lamang sa mga numero, kundi pati na rin sa bawat isa.

Ang scalar product ng mga vectors ay ang produkto ng mga haba ng mga vectors at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila.

Pakitandaan na pinarami namin ang dalawang vector, at ang resulta ay isang scalar, iyon ay, isang numero. Halimbawa, sa pisika, ang gawaing mekanikal ay katumbas ng scalar product ng dalawang vectors - puwersa at pag-aalis:

Kung ang mga vector ay patayo, ang kanilang scalar product ay zero.
At ito ay kung paano ipinahayag ang scalar product sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga vectors at:

Mula sa formula para sa scalar na produkto maaari mong mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga vectors:

Ang formula na ito ay lalong maginhawa sa stereometry. Halimbawa, sa Problema 14 ng Profile Unified State Exam sa Mathematics, kailangan mong hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya o sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano. Ang problema 14 ay madalas na nalutas nang maraming beses nang mas mabilis gamit ang paraan ng vector kaysa sa paggamit ng klasikal na pamamaraan.

Sa kurikulum ng matematika ng paaralan, tanging ang scalar product ng mga vector ang itinuturo.
Lumalabas na, bilang karagdagan sa scalar product, mayroon ding vector product, kapag ang resulta ng pagpaparami ng dalawang vectors ay vector. Alam ng sinumang kumukuha ng Unified State Exam sa physics kung ano ang Lorentz force at ang Ampere force. Kasama sa mga pormula para sa paghahanap ng mga puwersang ito ang mga produktong vector.

Ang mga vector ay isang napaka-kapaki-pakinabang na tool sa matematika. Makikita mo ito sa iyong unang taon.